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Revista Científica Perspectivas
ISSN: 1390-7204
Artículo Recibido: dd/mm/aaa – Aceptado: dd/mm/aaaa
Sintonización de Controladores PID para Control de
Velocidad de Motores de Corriente Continua
mediante Algoritmos Genéticos
PID Controller Tuning for Speed Control of a Direct
Current Motor using Genetic Algorithm
α
Sofía Berrones,
β
Ronald Barcia,
δ
Oscar Miguel-Escrig,
γ
Julio-Ariel Romero-Pérez
α,β
Escuela Superior Politécnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador
γ,δ
Universitat Jaume I, Castellón de la Plana, España
α
be_sofiae@espoch,edu.ec,
β
ronald.barcia@espoch.edu.ec,
γ
romeroj@uji.es,
δ
omiguel@uji.es
Resumen- Este documento presenta el desarrollo de un
algoritmo genético para optimización de ganancias de un
controlador PID (proporcional, integral, derivativo) aplicado al
control de velocidad de un motor de corriente directa. El
algoritmo fue desarrollado en código Python. Produce un buen
desempeño con pocas iteraciones debido a la generación de la
población inicial a partir de las reglas de sintonización de
Ziegler & Nichols. El controlador obtenido mediante la
aplicación del algoritmo genético es comparado con los métodos
convencionales de sintonización de Ziegler y Nichols, Cohen-
Coon y AMIGO, en términos de tiempo de establecimiento,
sobre oscilación máxima y robustez. Los resultados obtenidos
permiten concluir que se minimiza la sobre oscilación máxima y
el tiempo de establecimiento mediante el uso del controlador
obtenido mediante el algoritmo genético, que a su vez presenta
una mejor robustez en comparación con los controladores
obtenidos con los otros métodos.
Palabras Clave-Algoritmo Genético, Control PID, Inteligencia
Artificial, Control Óptimo.
Abstract- This document presents the development of a genetic
algorithm for optimizing the gains of a PID (proportional,
integral, derivative) controller applied to the speed control of a
direct current motor. The algorithm was developed in Python
code. It produces a good performance with few iterations due to
the generation of the initial population based on the tuning rules
of Ziegler & Nichols. The controller obtained through the
application of the genetic algorithm is compared with the
conventional tuning methods of Ziegler and Nichols, Cohen-
Coon and AMIGO, in terms of establishment time, maximum
overshoot and robustness. The obtained results allow to
conclude that the maximum overshoot and the establishment
time are minimized by using the controller obtained through the
genetic algorithm, which in turn has a better robustness
compared to the controllers obtained with the other methods.
Keywords- Genetic Algorithm, PID Control, Artificial
Intelligence, Optimal Control.
I. INTRODUCCIÓN
El uso de técnicas de Soft Computing – como lógica
difusa, redes neuronales artificiales y algoritmos genéticos
(AG) – en problemas de control automático es bien conocido
en la actualidad. Los controladores difusos usualmente
implementan una estrategia de control derivada de reglas
lingüísticas, que se traducen en términos matemáticos a través
de los conceptos de conjuntos difusos y lógica difusa [1]. Los
controladores neuronales son capaces de aprender el
comportamiento del sistema basado en información sobre su
entrada y salida [2]. Ambas técnicas al combinarse resultan
ser de gran utilidad en el control de sistemas complejos [3].
Los algoritmos genéticos están inspirados en la evolución
natural y en los mecanismos de recombinación genética. Esta
técnica es básicamente un procedimiento de búsqueda
adaptativa y paralela para la solución de problemas complejos
y se puede utilizar junto con otras técnicas inteligentes [4].
El uso de las técnicas antes mencionadas en problemas de
control automático resulta de gran utilidad cuando se busca
lograr un control óptimo en procesos cuya dinámica exhibe
características complejas y cuando se busca garantizar
requerimientos de respuesta deseados cuando las
características del proceso varían. En ocasiones, estas
técnicas son combinadas con esquemas de control clásico,
como el control PID, para lograr una implementación más
sencilla [5]–[10].
Los controladores PID tienen un gran número de
aplicaciones y actualmente son los más empleados en la
industria debido a su simplicidad y rendimiento en
comparación con otros esquemas de control que, si bien
presentan un mejor rendimiento, son más complicados en
cuanto a su modelado, sintonización e implementación [11].
En la Fig. 1 se muestra un diagrama de un esquema de
controlador PID en su forma paralela.
Fecha de Recepción: 26 – May – 2019 Fecha de Aceptación: 17 – Jun – 2019
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El controlador PID básicamente consiste en la
combinación de tres acciones de control: Proporcional (P),
Integral (I) y Derivativa (D). En general, la acción de control
P se utiliza para reducir el error de seguimiento detectado,
independientemente del desplazamiento de fase entre la
salida y la entrada; la acción de control I se aplica para
reducir (o incluso eliminar) el error de seguimiento de estado
estacionario; y el controlador D puede reducir la
sobreoscilación máxima (pero puede retener un error de
seguimiento en estado estable) [12]. Cada acción de control
tiene cierto grado de influencia sobre el proceso que es
regulado mediante una constante para cada acción: K
P
, K
I
,
K
D
, respectivamente. De forma optimista, se espera que una
implementación de un controlador PID combine estas tres
acciones para obtener una salida del sistema con un tiempo
de subida y un tiempo de asentamiento rápidos, con poco o
ningún exceso de sobreoscilación, y con un mínimo o nulo
error de estado estacionario.
Fig. 1. Esquema de un controlador PID en paralelo.
El desempeño de los controladores PID depende de los
valores que tomen las ganancias K
P
, K
I
y K
D,
lo que hace que
el proceso de elegir estas ganancias sea crucial para el
desempeño de todo el sistema de control en lazo cerrado.
Actualmente existe una gran cantidad de métodos de
ajuste de controladores PID que responden a diferentes
especificaciones de diseño, las cuales en general vienen
dadas en términos de la respuesta temporal o de frecuencia
del sistema (tiempo de establecimiento, sobreoscilación,
ancho de banda, márgenes de robustez, etc.). Cuando se
desea realizar el ajuste de un controlador PID con unos
requerimientos específicos diferentes a los que son
considerandos en los métodos de ajuste existentes, es
importante disponer de una metodología que permita obtener
los valores más adecuados de los parámetros K
P
, K
I
, K
D
del
controlador. Una solución al problema de ajuste de
controladores PID es la optimización mediante el uso de AG
para obtener los parámetros del controlador que garanticen
los requerimientos de respuesta del sistema.
Varios estudios realizados la aplicación de AG presenta
mejores resultados en comparación con métodos clásicos de
sintonización de controladores PID. En [13] Nagaraj y
Vijayakumar aplican técnicas heurísticas, incluyendo AG,
para lograr la sintonización óptima de un controlador PID
aplicado al control de humedad de una máquina de papel
donde se puede apreciar que el uso de AG comparado con un
controlador de Ziegler y Nichols presenta un mejor
rendimiento en términos de respuesta temporal excepto para
la sobre oscilación máxima, lo que sugiere el uso de otra
función de costo. En [14], Balamarugan et al. Hacen uso de
AG para la sintonización de un controlador PID en plantas de
turbinas de gas para operación en paralelo, obteniendo una
mejor estabilidad y mejores parámetros de respuesta
temporal en comparación con un controlador de Ziegler &
Nichols. En [15]–[17] se llega a las misma conclusión que
los trabajos citados anteriormente aplicados al control de
otros procesos. En [18] Ohri y Singh consiguen mejorar la
robustez ante variaciones de carga de un controlador PI
aplicado a un restaurador dinámico de voltaje mediante su
sintonización usando AG.
En este trabajo se evalúa el uso de AG en la sintonización
de un controlador PID aplicado en el control de velocidad de
un motor de corriente continua (CC), comparándolo con
métodos de sintonización convencionales para lograr
minimizar el tiempo de establecimiento y la sobre oscilación
máxima, además de comparar su robustez.
II. M
ETODOLOGÍA
A. Caso de Estudio
Para este estudio se ha considerado un motor de CC de
excitación independiente cuyo esquema se muestra en la Fig.
2, donde tanto la armadura como el campo del motor cuentan
con su propia fuente de excitación. En la Fig. 2,
es el
voltaje aplicado a la armadura,
es la corriente de
armadura,
es la Resistencia de Armadura,
es la
Inductancia de Armadura,
es la fuerza
contraelectromotriz,
es el par ejercido por el motor, es
la velocidad angular del rotor,
es el momento de inercia
del eje del rotor,
es el coeficiente de amortiguamiento
viscoso del eje del rotor,
es la inductancia del campo,
es la resistencia del campo,
es la corriente del campo y
es el voltaje aplicado al campo.
Fig. 2. Esquema de un motor de CC de excitación
independiente.
Una representación de la función de transferencia puede
ser obtenida despreciando los efectos de la histéresis, la caída
de tensión en las escobillas y asumiendo que la corriente de
campo es constante. Bajo estas consideraciones, las
ecuaciones que gobiernan el motor de CC de excitación
independiente de la Fig. 2 son las siguientes:
=
+

+
(1)
=

=
(2)
=
=
(3)
=


+
(4)
L
f
R
f
R
a
J
m
B
m
T
m
E
b
V
a
V
f
ω
L
a
I
f
I
a
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En las ecuaciones (2) y (3),
es la constante de Torque
y
es la constante de fuerza contraelectromotriz. Ambas
constantes relacionen variables mecánicas con variables
eléctricas, permitiendo la transformación de una a otra.
A partir de las ecuaciones (1)-(4) se obtiene el modelo de
función de transferencia de la ecuación (5), que relaciona la
velocidad angular Ω
(
)
con el voltaje de armadura
(),
donde el significado de cada uno de sus términos es descrito
en la Tabla I.
Ω
(
)
()
=
2
+
(
+
)
+
+
(5)
Los parámetros escogidos para la función de transferencia
son los que se usan en el estudio de control de velocidad de
un motor de CC en [19]. Dichos parámetros se muestran en
la Tabla I.
TABLA I
P
ARÁMETROS DEL MOTOR DE CC DE EXCITACIÓN INDEPENDIENTE
PARÁMETRO VALOR
Constante de Torque
Constante de Fuerza Contraelectromotriz
4.2∙10
V/rpm
Resistencia de Armadura
Inductancia de Armadura
3∙10
H
Inercia del eje del Rotor
28.46∙10
Kgm
Coeficiente de Amortiguamiento Viscoso
Para sintonizar un controlador PID existen técnicas
propuestas por varios autores (e.g., métodos de Ziegler &
Nichols, Cohen-Coon, Sintonización Lambda entre otros)
que hacen uso de las características de repuesta del sistema
en lazo abierto y en lazo cerrado, siendo las técnicas de
Ziegler & Nichols una de las más conocidas [12]. Los
parámetros calculados con dichas técnicas pueden servir
como punto de partida para la aplicación del algoritmo
genético para la sintonización óptima, logrando que se
encuentren los mejores valores de las ganancias del
controlador PID en un menor número de iteraciones del
algoritmo, lo que se traduce en un menor costo
computacional.
Al incorporar un AG para la sintonización del controlador
PID, la estructura del sistema de control resulta ser la
mostrada en la Fig. 3, donde la entrada es la velocidad
angular deseada del motor y la salida es la velocidad angular
actual. En el caso particular de este estudio, la población
inicial del algoritmo genético viene dada por los parámetros
de sintonización obtenidos mediante el método de lazo
abierto de Ziegler y Nichols (Z&N) [20]. Los resultados
obtenidos por el controlador sintonizado con el AG serán
también comparados referencialmente con los entregados por
controladores sintonizados con otros métodos convencionales
reportados en literatura como Cohen-Coon [21], [22] y
AMIGO [21], [23].
Fig. 3. Esquema del Controlador PID con Algoritmo
Genético.
B. Sintonización Inicial del PID usando Ziegler & Nichols
Se empleó el método de sintonización de controladores
PID en lazo abierto de Ziegler & Nichols consiste en la
aproximación de la respuesta del sistema a un modelo de
primer orden con tiempo de retardo, lo cual es posible cuando
el sistema no contiene integradores ni polos dominantes
complejos conjugados mostrando una respuesta
subamortiguada, como muestra la Fig. 4. Posteriormente se
obtuvo la medición de tres características de la respuesta del
sistema en lazo abierto como son: el tiempo de retardo L, la
constante de tiempo T y la ganancia del sistema K. Dichas
características se usan para obtener los parámetros del
controlador según los métodos de sintonización anteriormente
mencionados.
Fig. 4. Curva de respuesta en forma de S que presenta un
sistema de primer orden con retardo de tiempo[20].
Las reglas de sintonización sugeridas por el método de
sintonización de Z&N, junto con el resumen de reglas de los
métodos de Cohen-Coon y AMIGO, para un controlador PID
son resumidas en la Tabla II, donde,
y
son los tiempos
integrales y derivativos, respectivamente. Estos dos valores
definen las ganancias K
I
y K
D
, siendo
=
y
=
.
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TABLA II
REGLAS DE SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES PID DE ZIEGLER Y
NICHOLS, COHEN-COON Y AMIGO BASADAS EN LA RESPUESTA ESCALÓN
DEL SISTEMA EN LAZO ABIERTO
[21].
Parámetros de
Controlador PID
Ziegler &
Nichols
Cohen-Coon AMIGO
K
P
1.2
T
LK
T
LK
4
3
+
L
4T
1
K
0.2 + 0.45
T
L
T
I
2L
32 + 6
13 + 8
L
0.4L + 0.8T
L + 0.1T
L
T
D
0.5L
4L
11 + 2
0.5LT
0.3L + T
C. Estructura del Algoritmo Genético
Los algoritmos genéticos son un procedimiento
computacional que imita el proceso natural de evolución. El
objetivo de los algoritmos genéticos al emular los
mecanismos biológicos de la evolución es derivar estrategias
de optimización [24]. La estructura básica de un algoritmo
genético se muestra en la Fig. 5. Los algoritmos genéticos
funcionan mediante la evolución de una población de
soluciones a lo largo de varias generaciones. Para cada
generación, las mejores soluciones se seleccionan de la
población con base en el valor de una función de costo. Esta
optimización se logra mediante la implementación de los
mecanismos naturales de la evolución, que en la literatura se
conocen como operadores genéticos: selección, reproducción
y mutación, generando una nueva población con mejores
características que la anterior. Los algoritmos genéticos usan
parámetros codificados en lugar de parámetros en sí mismos.
Esta es la razón por la cual el primer paso de la aplicación del
algoritmo genético es seleccionar el método de codificación
más adecuado que represente mejor el espacio de solución
del problema.
Fig. 5. Diagrama de Flujo de un Algoritmo Genético.
Considerando esto, en la Fig. 5 cada individuo de una
población está representado por un vector de tres valores que
representan las ganancias K
P
, K
I
, K
D
del controlador PID.
Como se indicó anteriormente, la población inicial es
generada a partir de los parámetros de ganancias obtenidas
mediante el método de sintonización de Z&N (ver Tabla II),
y multiplicándolos por un número pseudoaleatorio para
alterar su valor.
El principio esencial de la selección es, generalmente, "el
mejor sobrevive". El objetivo de la selección es aumentar el
número de individuos con mejores valores de aptitud o
características que sus padres. De esta manera se garantiza
que los individuos más aptos de la población sean los
productores de la siguiente generación al permitir únicamente
la reproducción de estos y descartando a los individuos menos
aptos de la misma población. El criterio de aptitud para
determinar todo esto está dado por una función de costo 
(Integral of Time per Squared Error – Integral del tiempo por
el cuadrado del error), que es la función que se desea
optimizar. En este caso, la función de costo es la que se
muestra en la ecuación (2):
 =

(
)
 (2)
donde,
(
)
representa el cuadrado del error. Al minimizar
el valor de  se minimiza la sobreoscilación (OS) y el
tiempo de establecimiento (t
ss
) [12], [16]. De esta manera, el
objetivo del algoritmo genético consiste en minimizar el
valor de  donde las variables de decisión son las
ganancias K
P
, K
I
, K
D
.
La operación de reproducción se puede describir como el
intercambio de dos cromosomas de individuos elegidos como
padres de manera aleatoria a partir de los mejores individuos
escogidos por el operador de selección [24]. El método de
reproducción implementado en este trabajo consiste en la
selección del individuo con el menor valor de  del
conjunto de individuos obtenido. Luego de aplicar el operador
de selección se escogió al más apto (padre) y se escoge a otro
individuo de los más aptos aleatoriamente (madre).
Posteriormente, de acuerdo con un número aleatorio p entre 0
y 1, se escogió una de tres maneras en las que el hijo heredará
las características de los padres. Así, si 0 <p ≤ 1/3 entonces el
hijo hereda K
P
del padre y el resto de las ganancias de la
madre; si 1/3 <p ≤ 2/3 entonces el hijo hereda K
I
del padre y
las otras ganancias de la madre; y, si 2/3 <p ≤ 1 entonces el
hijo hereda K
D
de la madre y el resto de las ganancias del
padre. Luego se agregaron los hijos a la población anterior (la
obtenida mediante la selección) para ocupar el lugar de los
individuos anteriormente descartados (que no sobrevivieron).
La mutación es la transformación de uno o más genes en
una población que crea la descendencia. La operación de
mutación realiza modificaciones a un individuo seleccionado
según una probabilidad de mutación (Mp) modificando uno o
más genes de un individuo. En la implementación del
algoritmo genético de este trabajo se cambió de forma
aleatoria una ganancia de cada solución, dependiendo de si un
número aleatorio es mayor a la probabilidad de mutación,
esto solamente cuando la mejor solución no logra un tiempo
de asentamiento menor al tiempo de asentamiento logrado por
la respuesta en lazo cerrado con los parámetros de Ziegler &
Nichols. Esta operación permitirá explorar nuevas direcciones
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de solución a la minimización del índice ITSE por parte del
AG.
D. Comparación de Parámetros con los Controladores
Convencionales
El modelo de función de transferencia del motor de CC de
la ecuación (1) y la estructura de control de la Fig. 3 fueron
implementados usando código Python, al igual que el
algoritmo genético, usando la librería Python Control [25]
para obtener la respuesta del sistema en cada iteración del
AG. Además, la sintonización del controlador PID utilizando
los métodos convencionales de Z&N, Cohen-Coon y AMIGO
para controlar el motor CC fue realizada en Matlab.
Finalmente, se realizó el análisis de la robustez de cada uno
de los controladores obtenidos siguiendo el criterio
estandarizado de sensibilidad (M
S
) basado en el diagrama de
Nyquist de la respuesta en frecuencia de lazo abierto
(

)
(

)
, que se indica en la ecuación (3), el cual
establece que valores pequeños de M
S
se relacionan con una
robustez más elevada del controlador [26], donde
(

)
representa la respuesta en frecuencia del controlador y
(

)
representa la respuesta en frecuencia del proceso.
= max
1
1 +
(

)
(

)
(3)
III. R
ESULTADOS
La evaluación de los parámetros de la respuesta del sistema
en lazo abierto para la sintonización con los métodos
convencionales, descrito en la sección II se muestra en la Fig.
6 donde se puede apreciar que los valores obtenidos para el
caso de estudio son T = 0.04969s, L = 0.00282s y K =
0.37848, obteniendo así los valores de partida de la población
inicial K
P
= 55.84702, K
I
= 9897.74102yK
D
= 0.07878, de
acuerdo con los parámetros de Z&N de la tabla II.
Fig. 6. Respuesta del sistema en lazo abierto para
determinar el tiempo de retardo L, la constante de tiempo T
y la ganancia K del modelo de motor de CC.
TABLA III
PARÁMETROS DE EJECUCIÓN DEL ALGORITMO GENÉTICO PARA
SINTONIZACIÓN DEL CONTROLADOR PID
Parámetro
Valor
Generaciones
15
Individuos por generación
30
Probabilidad de Mutación
0.10
K
P
de partida
55.84702
K
I
de partida
9897.74102
K
D
de partida
0.07878
El algoritmo genético fue ejecutado bajo las condiciones
que se indican en la Tabla III. La Fig. 7 muestra la evolución
de las soluciones para el controlador PID donde se muestra la
variación de la función de costo conforme transcurren las
generaciones. Puede apreciarse como disminuye
drásticamente el valor del índice ITSE al cabo de la segunda
generación quedándose casi constante en las generaciones
restantes, logrando un valor mínimo de 6.95736 × 10

.
Fig. 7: Variación del ITSE con el paso de las generaciones.
En la Fig. 8, se muestran los resultados alcanzados en las
respuestas a escalón unitario de las soluciones de
optimización del controlador PID obtenidas en la generación
1, 9 y 15. Como se puede apreciar, la respuesta de la solución
de optimización del PID de la generación 15 presenta la
mayor disminución de la sobre oscilación máxima y el tiempo
de establecimiento(t
ss
) en comparación con los logrados por
las generaciones precedentes.
Fig. 8: Respuestas al escalón unitario alcanzadas en algunas
generaciones del algoritmo genético.
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Una comparación completa entre las respuestas al escalón
en lazo cerrado con los controladores obtenidos por todos los
métodos de sintonización mencionados en este trabajo fue
realizada utilizando Matlab y se presenta en la Fig. 9. Se
puede notar como la respuesta del controlador sintonizado
con el AG (línea naranja) consigue mayor disminución en el
tiempo de establecimiento t
ss
y mejora las características de
sobre oscilación del sistema respeto a las curvas obtenidas por
los demás métodos.
Fig. 9:Respuesta escalón final alcanzada por el algoritmo
genético comparada con los demás controladores.
TABLA IV
C
OMPARACIÓN ENTRE LOS PARÁMETROS DE SINTONIZACIÓN, TIEMPO DE
ESTABLECIMIENTO (t
SS
), SOBRE OSCILACIÓN MÁXIMA (OS), ÍNDICES DE
RENDIMIENTO (ITSE) Y DE ROBUSTEZ (MS)DE LOS CONTROLADORES PID
Parámetros
Métodos de Sintonización
Ziegler y
Nichols
Cohen -
Coon
AMIGO
Algoritmo
Genético
Kp
55.84702
62.71275
21.47105
21.72525
Ki/1000
9.89774
9.24763
1.45025
0.57693
Kd*100
7.87778
6.36791
2.97799
6.75206
t
SS
[s]
0.04507
0.04066
0.03258
0.01457
OS [%]
43.22286
44.64349
23.16101
1.44364
ITSE*10000
0.15612
0.15612
0.18435
0.06957
Ms
1.77617
1.84720
1.28563
1.00027
Finalmente, en la Tabla IV se presenta un resumen de los
resultados obtenidos por los controladores PID sintonizados
con métodos convencionales Ziegler y Nichols, Cohen-Coon
y AMIGO, comparados con el controlador optimizado por la
técnica de computación evolutiva analizada en este estudio.
Entre los datos más importantes resaltan el menor valor de
tiempo de establecimiento (0.01457s) y sobre oscilación
máxima (1.44364%) aplicando el controlador propuesto por
el AG, mejorando así las características de respuesta
transitoria en comparación con los demás controladores. Es
importante mencionar que el menor valor de función de costo
fue alcanzado por el controlador sintonizado con el AG (ITSE
= 6.957 × 10
−6
), mostrando que su rendimiento es mucho
que el resto de los controladores en términos de dicho índice.
Además, este mismo controlador obtuvo el menor valor para
el índice de sensibilidad Ms=1.00027, lo que indica el
controlador presenta una mayor robustez en comparación con
los demás analizados en este estudio.
IV. C
ONCLUSIONES
El algoritmo muestra una disminución drástica del tiempo
de establecimiento y de la sobreoscilación máxima en pocas
generaciones, esto debido a que se eligen los parámetros de
Ziegler & Nichols como punto de partida, lo cual implica
poco tiempo para hallar una solución más optimizada con el
algoritmo genético. Esto se verifica observando que a partir
de la segunda generación el algoritmo presenta una
disminución notable en la sobreoscilación máxima y en el
tiempo de establecimiento, disminuyendo más en la última
generación.
Además de mejorar las características de respuesta
transitoria, el controlador sintonizado por el algoritmo
genético presenta mejor robustez en comparación con los
demás métodos evaluados en este estudio. Cabe destacar la
mejora en robustez en comparación con el método AMIGO,
pues este método fue diseñado enfocándose en la robustez
(aunque comprometiendo el rendimiento). Esta particularidad
hace que el controlador sintonizado por el algoritmo genético
presente un desempeño adecuado aún si se presentan
perturbaciones en los parámetros del proceso.
R
EFERENCIAS
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e -ISSN: 2661-6688
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Revista Científica Perspectivas
ISSN: 1390-7204
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